## 回答

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1. 問題の内容

与えられた関数の極限を、ロピタルの定理を用いて求める問題です。具体的には、以下の極限を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$

(2) $\lim_{x \to +0} x \log x$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{\sqrt{x+1} - 1}$

(4) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\arcsin x}$

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2}$

(8) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\cos x} - e}{\log(\cos x)}$

(9) $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos 2x)}{\log(\cos 3x)}$

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2. 解き方の手順

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である場合に、$\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在すれば、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つという定理です。

各問題に対して、ロピタルの定理を適用していきます。

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1. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin x}$**

$x \to 0$ のとき、分子 $e^x - e^{-x} \to 1 - 1 = 0$、分母 $\sin x \to 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{\cos x} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

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2. $\lim_{x \to +0} x \log x$**

$x \to +0$ のとき、$x \to 0$、$\log x \to -\infty$ となるので、$0 \cdot (-\infty)$ の不定形です。$\frac{\infty}{\infty}$の形に変形します。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$

ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

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3. $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{\sqrt{x+1} - 1}$**

$x \to 0$ のとき、分子 $\sqrt{x+4} - 2 \to 2 - 2 = 0$、分母 $\sqrt{x+1} - 1 \to 1 - 1 = 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x+4}}}{\frac{1}{2\sqrt{x+1}}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+4}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

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4. $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$**

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x \sin x}$

$x \to 0$ のとき、分子 $\sin x - x \to 0$、分母 $x \sin x \to 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x}$

$x \to 0$ のとき、分子 $\cos x - 1 \to 0$、分母 $\sin x + x \cos x \to 0$ となるので、再度$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2\cos x - x \sin x} = \frac{0}{2} = 0$

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5. $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x - \sin x}$**

$x \to 0$ のとき、分子 $x^3 \to 0$、分母 $x - \sin x \to 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{3x^2}{1 - \cos x}$

$x \to 0$ のとき、分子 $3x^2 \to 0$、分母 $1 - \cos x \to 0$ となるので、再度$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{6x}{\sin x}$

$x \to 0$ のとき、分子 $6x \to 0$、分母 $\sin x \to 0$ となるので、再度$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{6}{\cos x} = \frac{6}{1} = 6$

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6. $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\arcsin x}$**

$x \to 0$ のとき、分子 $x \to 0$、分母 $\arcsin x \to 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} = \lim_{x \to 0} \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1} = 1$

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7. $\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x^2}$**

$x \to \infty$ のとき、分子 $e^x + e^{-x} - 2 \to \infty$、分母 $x^2 \to \infty$ となるので、$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x - e^{-x}}{2x}$

$x \to \infty$ のとき、分子 $e^x - e^{-x} \to \infty$、分母 $2x \to \infty$ となるので、再度$\frac{\infty}{\infty}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \infty$

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8. $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\cos x} - e}{\log(\cos x)}$**

$x \to 0$ のとき、分子 $e^{\cos x} - e \to e^1 - e = 0$、分母 $\log(\cos x) \to \log(1) = 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{-e^{\cos x} \sin x}{-\frac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} e^{\cos x} \cos x = e^1 \cdot 1 = e$

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9. $\lim_{x \to 0} \frac{\log(\cos 2x)}{\log(\cos 3x)}$**

$x \to 0$ のとき、分子 $\log(\cos 2x) \to \log(1) = 0$、分母 $\log(\cos 3x) \to \log(1) = 0$ となるので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{-2\sin 2x}{\cos 2x}}{\frac{-3\sin 3x}{\cos 3x}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 2x \cos 3x}{3\sin 3x \cos 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin 2x}{3\sin 3x}$

$x \to 0$ のとき、分子 $2\sin 2x \to 0$、分母 $3\sin 3x \to 0$ となるので、再度$\frac{0}{0}$ の不定形です。ロピタルの定理を適用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{4\cos 2x}{9\cos 3x} = \frac{4}{9}$

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3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 0

(3) 1/2

(4) 0

(5) 6

(6) 1

(7) $\infty$

(8) e

(9) 4/9