逆三角関数の方程式 $ \cos^{-1} x = -\sin^{-1} \frac{1}{3} $ を解く。

1. 問題の内容

逆三角関数の方程式 $\cos^{-1} x = -\sin^{-1} \frac{1}{3}$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\sin^{-1} \frac{1}{3} = \theta$ とおくと、 $\sin \theta = \frac{1}{3}$ となる。ここで、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。したがって、$\cos^{-1} x = -\theta$ となる。

両辺のcosineをとると、

$x = \cos(-\theta) = \cos \theta$

$\sin \theta = \frac{1}{3}$ より、

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\cos \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \theta \ge 0$ なので、

$\cos \theta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

よって、$x = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{2\sqrt{2}}{3}$