次の関数を微分せよ。 (1) $x \log x$ (5) $\frac{\log x}{x^2}$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $x \log x$

(5) $\frac{\log x}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x \log x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いる。

$u = x$, $v = \log x$ とすると、$u' = 1$, $v' = \frac{1}{x}$ である。

よって、

$(x \log x)' = (x)' \log x + x (\log x)' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(5) $\frac{\log x}{x^2}$ の微分

商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用いる。

$u = \log x$, $v = x^2$ とすると、$u' = \frac{1}{x}$, $v' = 2x$ である。

よって、

$(\frac{\log x}{x^2})' = \frac{(\log x)' x^2 - (\log x) (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{\frac{1}{x} x^2 - (\log x) (2x)}{x^4} = \frac{x - 2x \log x}{x^4} = \frac{x(1 - 2 \log x)}{x^4} = \frac{1 - 2 \log x}{x^3}$

3. 最終的な答え

(1) $(\log x + 1)$

(5) $\frac{1 - 2 \log x}{x^3}$