次の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to +0} \frac{1}{\log x}$ (4) $\lim_{x \to 1-0} \log(1-x)$ (7) $\lim_{x \to \infty} \{\log(3x^2 - 1) - \log(x^2 + 1)\}$ (9) $\lim_{x \to 0} \log(\cos x)$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{1}{\log x}$

(4) $\lim_{x \to 1-0} \log(1-x)$

(7) $\lim_{x \to \infty} \{\log(3x^2 - 1) - \log(x^2 + 1)\}$

(9) $\lim_{x \to 0} \log(\cos x)$

2. 解き方の手順

(1) $x$ が $0$ に近づくと、$\log x$ は負の無限大に発散します。したがって、$\frac{1}{\log x}$ は $0$ に近づきます。

(4) $x$ が $1$ に近づくと、$1-x$ は $0$ に近づきます。$\log$ 関数は $0$ に近づくと負の無限大に発散します。

(7) $\log(3x^2 - 1) - \log(x^2 + 1) = \log(\frac{3x^2 - 1}{x^2 + 1})$ と変形できます。$x \to \infty$ のとき、$\frac{3x^2 - 1}{x^2 + 1}$ は $\frac{3}{1} = 3$ に近づきます。したがって、$\log(\frac{3x^2 - 1}{x^2 + 1})$ は $\log 3$ に近づきます。

(9) $x$ が $0$ に近づくと、$\cos x$ は $1$ に近づきます。$\log 1 = 0$ であるので、$\log(\cos x)$ は $0$ に近づきます。

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +0} \frac{1}{\log x} = 0$

(4) $\lim_{x \to 1-0} \log(1-x) = -\infty$

(7) $\lim_{x \to \infty} \{\log(3x^2 - 1) - \log(x^2 + 1)\} = \log 3$

(9) $\lim_{x \to 0} \log(\cos x) = 0$