与えられた関数の微分を求める問題です。 (1) $y = \log|x+21|$ の微分を求めます。 (2) $y = \log|\frac{x+1}{x}|$ の微分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の微分を求める問題です。

(1) $y = \log|x+21|$ の微分を求めます。

(2) $y = \log|\frac{x+1}{x}|$ の微分を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $y = \log|x+21|$

まず、合成関数の微分法を使います。$\log|u|$ の微分は $\frac{1}{u}$ です。

$u = x+21$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 1$ です。

したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+21} \cdot 1 = \frac{1}{x+21}$

(2) $y = \log|\frac{x+1}{x}|$

まず、対数の性質を使って関数を簡単にします。

$y = \log|x+1| - \log|x|$

次に、各項を微分します。

$\frac{d}{dx} \log|x+1| = \frac{1}{x+1}$

$\frac{d}{dx} \log|x| = \frac{1}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (x+1)}{x(x+1)} = \frac{-1}{x(x+1)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+21}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x(x+1)}$