$\log(\tan x)$を微分せよ。

## 問題9

1. 問題の内容

$\log(\tan x)$を微分せよ。

2. 解き方の手順

$\log(\tan x)$を微分します。

合成関数の微分公式を用います。

まず、$u = \tan x$とおくと、$\log(\tan x) = \log u$となります。

$\frac{d}{dx} \log u = \frac{d}{du} \log u \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{du} \log u = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x}$

したがって、

$\frac{d}{dx} \log(\tan x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{2 \sin x \cos x} = \frac{2}{\sin(2x)}$

$\frac{2}{\sin(2x)} = 2\csc(2x)$

3. 最終的な答え

$2 \csc(2x)$

## 問題11(1)

1. 問題の内容

$\log |x+2|$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$\log |x+2|$を微分します。

合成関数の微分公式を用います。

$u = x+2$とおくと、$\log|x+2| = \log |u|$となります。

$\frac{d}{dx} \log |u| = \frac{d}{du} \log |u| \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{d}{du} \log |u| = \frac{1}{u}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x+2) = 1$

したがって、

$\frac{d}{dx} \log|x+2| = \frac{1}{x+2} \cdot 1 = \frac{1}{x+2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x+2}$

## 問題12(1)

1. 問題の内容

$\log_2 x$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$\log_2 x$ を微分します。

底の変換公式を用いて、$\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}$ と変形できます。

$\frac{d}{dx} \log_2 x = \frac{d}{dx} \left(\frac{\log x}{\log 2}\right)$

$\frac{1}{\log 2}$ は定数なので、

$\frac{d}{dx} \left(\frac{\log x}{\log 2}\right) = \frac{1}{\log 2} \frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{\log 2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log 2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x \log 2}$