ロピタルの定理を利用して、以下の極限値を求めます。 $$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}$$

1. 問題の内容

ロピタルの定理を利用して、以下の極限値を求めます。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}}$$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を用いるために、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分:

$$(\log x)' = \frac{1}{x}$$

分母の微分:

$$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

したがって、極限は以下のようになります。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x \to \infty} \frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{x}}$$

$x$ が無限大に近づくと、$\sqrt{x}$ も無限大に近づくため、$\frac{2}{\sqrt{x}}$ は0に近づきます。

3. 最終的な答え

$$0$$