与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限値を求める問題です。具体的には、以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 10^3}{5x^2 + 6x - 1}$

1. 問題の内容

与えられた関数の $x$ が無限大に近づくときの極限値を求める問題です。具体的には、以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 10^3}{5x^2 + 6x - 1}$

2. 解き方の手順

極限を計算するために、分子と分母を $x^2$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 10^3}{5x^2 + 6x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x^2}{x^2} - \frac{10^3}{x^2}}{\frac{5x^2}{x^2} + \frac{6x}{x^2} - \frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1000}{x^2}}{5 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}}$

$x$ が無限大に近づくとき、$\frac{1000}{x^2}$、$\frac{6}{x}$、および $\frac{1}{x^2}$ は 0 に近づきます。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{1000}{x^2}}{5 + \frac{6}{x} - \frac{1}{x^2}} = \frac{3 - 0}{5 + 0 - 0} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}$