問題は、次の条件を満たす関数 $f(x)$ について、指定された範囲での $f(x)$ の符号を判定し、不等号 $(<, >)$ を選択するというものです。 * $x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x > 0$ のとき $f(x) \ [\ ] \ 0$ * $x < 0$ のとき $f'(x) < 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x < 0$ のとき $f(x) \ [\ ] \ 0$ * $x > 0$ のとき $f'(x) > 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x > 0$ のとき $f(x) \ [\ ] \ 0$ * $x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x < 0$ のとき $f(x) \ [\ ] \ 0$

1. 問題の内容

問題は、次の条件を満たす関数 $f(x)$ について、指定された範囲での $f(x)$ の符号を判定し、不等号 $(<, >)$ を選択するというものです。

* $x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x > 0$ のとき $f(x) \ [\ ] \ 0$

* $x < 0$ のとき $f'(x) < 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x < 0$ のとき $f(x) \ [\ ] \ 0$

* $x > 0$ のとき $f'(x) > 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x > 0$ のとき $f(x) \ [\ ] \ 0$

* $x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x < 0$ のとき $f(x) \ [\ ] \ 0$

2. 解き方の手順

各条件に対して、$f(x)$ の増減と $f(0)$ の値を考慮して $f(x)$ の符号を判断します。

* $x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、区間 $(0, x)$ で $f(x)$ は減少関数である。したがって、$f(x) < f(0) = 0$。

* $x < 0$ のとき $f'(x) < 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、区間 $(x, 0)$ で $f(x)$ は減少関数である。したがって、$f(x) > f(0) = 0$。

* $x > 0$ のとき $f'(x) > 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、区間 $(0, x)$ で $f(x)$ は増加関数である。したがって、$f(x) > f(0) = 0$。

* $x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、区間 $(x, 0)$ で $f(x)$ は増加関数である。したがって、$f(x) < f(0) = 0$。

3. 最終的な答え

* $x > 0$ のとき $f'(x) < 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x > 0$ のとき $f(x) < 0$ である。

* $x < 0$ のとき $f'(x) < 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x < 0$ のとき $f(x) > 0$ である。

* $x > 0$ のとき $f'(x) > 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x > 0$ のとき $f(x) > 0$ である。

* $x < 0$ のとき $f'(x) > 0$ かつ $f(0) = 0$ ならば、$x < 0$ のとき $f(x) < 0$ である。