次の2つの関数を微分する問題です。 (1) $f(x) = e^{-2x+4}$ (2) $f(x) = \log\sqrt{x^2 + 1}$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(1) $f(x) = e^{-2x+4}$

(2) $f(x) = \log\sqrt{x^2 + 1}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{-2x+4}$ の微分

合成関数の微分法を用います。

$u = -2x + 4$ とおくと、$f(x) = e^u$ となります。

$\frac{du}{dx} = -2$

$\frac{df}{du} = e^u$

よって、

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot (-2) = -2e^{-2x+4}$

(2) $f(x) = \log\sqrt{x^2 + 1}$ の微分

まず、対数の性質を使って関数を簡単にします。

$f(x) = \log(x^2 + 1)^{1/2} = \frac{1}{2}\log(x^2 + 1)$

次に、合成関数の微分法を用います。

$u = x^2 + 1$ とおくと、$f(x) = \frac{1}{2}\log(u)$ となります。

$\frac{du}{dx} = 2x$

$\frac{df}{du} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} = \frac{1}{2u}$

よって、

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2u} \cdot 2x = \frac{x}{u} = \frac{x}{x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -2e^{-2x+4}$

(2) $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$