与えられた2つの関数 $f(x)$ を微分する問題です。 (1) $f(x) = e^{-2x+1}$ (2) $f(x) = \log{\sqrt{x^2+1}}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x)$ を微分する問題です。

(1) $f(x) = e^{-2x+1}$

(2) $f(x) = \log{\sqrt{x^2+1}}$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = e^{-2x+1}$ の微分

合成関数の微分法を使います。 $u = -2x+1$ とおくと、$f(x) = e^u$ です。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

まず、$u = -2x+1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = -2$

次に、$f(x) = e^u$ を $u$ で微分すると、

$\frac{df}{du} = e^u$

したがって、

$\frac{df}{dx} = e^u \cdot (-2) = -2e^{-2x+1}$

(2) $f(x) = \log{\sqrt{x^2+1}}$ の微分

まず、$\sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{1/2}$ より、

$f(x) = \log{(x^2+1)^{1/2}} = \frac{1}{2}\log{(x^2+1)}$

$u = x^2+1$ とおくと、$f(x) = \frac{1}{2} \log{u}$ です。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

まず、$u = x^2+1$ を $x$ で微分すると、

$\frac{du}{dx} = 2x$

次に、$f(x) = \frac{1}{2} \log{u}$ を $u$ で微分すると、

$\frac{df}{du} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u} = \frac{1}{2u}$

したがって、

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{2u} \cdot 2x = \frac{2x}{2(x^2+1)} = \frac{x}{x^2+1}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = -2e^{-2x+1}$

(2) $f'(x) = \frac{x}{x^2+1}$