$I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$ および $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx$ および $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$I+J$を計算します。

$I+J = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx + \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} dx = \int 1 dx = x + C_1$

次に、$J-I$を計算します。

$J-I = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx - \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} dx = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} dx$

$u = \sin x + \cos x$ と置換すると、$du = (\cos x - \sin x) dx$ となります。よって、

$J-I = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C_2 = \ln |\sin x + \cos x| + C_2$

$I+J = x + C_1$

$J-I = \ln |\sin x + \cos x| + C_2$

これらの式を連立させて$I$と$J$を解きます。

$2I = (I+J) - (J-I) = x - \ln |\sin x + \cos x| + C_1 - C_2$

$I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln |\sin x + \cos x| + C_3$

$2J = (I+J) + (J-I) = x + \ln |\sin x + \cos x| + C_1 + C_2$

$J = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln |\sin x + \cos x| + C_4$

ここで、$C_3$と$C_4$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\ln |\sin x + \cos x| + C_3$

$J = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\ln |\sin x + \cos x| + C_4$