与えられた極限 $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + x - 2}{3x^2 + 2x + 1}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + x - 2}{3x^2 + 2x + 1}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくときの極限を計算するため、分子と分母を $x^2$ で割ります。これにより、極限の形が扱いやすくなります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{x^2 + x - 2}{3x^2 + 2x + 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} - \frac{2}{x^2}}{\frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} + \frac{1}{x^2}}$

$= \lim_{x\to\infty} \frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}$

$x$ が無限大に近づくと、$\frac{1}{x}$ と $\frac{1}{x^2}$ は0に近づきます。したがって、

$\lim_{x\to\infty} \frac{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}}{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{1 + 0 - 0}{3 + 0 + 0} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$