与えられた積分を計算します。 $\int \frac{1}{\sqrt{2 + x - x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{1}{\sqrt{2 + x - x^2}} dx$

2. 解き方の手順

まず、$2 + x - x^2$ を平方完成します。

$2 + x - x^2 = -(x^2 - x) + 2 = -(x^2 - x + \frac{1}{4}) + \frac{1}{4} + 2 = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

よって、

$\int \frac{1}{\sqrt{2 + x - x^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2}} dx$

$x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta$ と置換します。

$dx = \frac{3}{2} \cos \theta d\theta$

すると、

$\int \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4} - (x - \frac{1}{2})^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{9}{4} - \frac{9}{4} \sin^2 \theta}} \cdot \frac{3}{2} \cos \theta d\theta = \int \frac{\frac{3}{2} \cos \theta}{\sqrt{\frac{9}{4}(1 - \sin^2 \theta)}} d\theta = \int \frac{\frac{3}{2} \cos \theta}{\frac{3}{2} \sqrt{\cos^2 \theta}} d\theta$

$\int \frac{\frac{3}{2} \cos \theta}{\frac{3}{2} \cos \theta} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

ここで、$x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta$ より、 $\sin \theta = \frac{2}{3}(x - \frac{1}{2}) = \frac{2x - 1}{3}$

したがって、 $\theta = \arcsin(\frac{2x - 1}{3})$

$\int \frac{1}{\sqrt{2 + x - x^2}} dx = \arcsin(\frac{2x - 1}{3}) + C$

3. 最終的な答え

$\arcsin(\frac{2x - 1}{3}) + C$