与えられた6つの関数を微分する問題です。関数はそれぞれ以下の通りです。 (1) $y = (3x+4)^5$ (2) $y = (x^3+4)^5$ (3) $y = (x^2+3x+4)^5$ (4) $y = (\log x)^3$ (5) $y = \sin^4 x$ (6) $y = \cos^5 x$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。関数はそれぞれ以下の通りです。

(1) $y = (3x+4)^5$

(2) $y = (x^3+4)^5$

(3) $y = (x^2+3x+4)^5$

(4) $y = (\log x)^3$

(5) $y = \sin^4 x$

(6) $y = \cos^5 x$

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で微分を行います。

(1) $y = (3x+4)^5$

合成関数の微分法を用います。$u = 3x+4$ とおくと、$y = u^5$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 5(3x+4)^4 \cdot 3 = 15(3x+4)^4$

(2) $y = (x^3+4)^5$

同様に合成関数の微分法を用います。$u = x^3+4$ とおくと、$y = u^5$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 5(x^3+4)^4 \cdot 3x^2 = 15x^2(x^3+4)^4$

(3) $y = (x^2+3x+4)^5$

$u = x^2+3x+4$ とおくと、$y = u^5$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = 2x+3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 5(x^2+3x+4)^4 \cdot (2x+3) = 5(2x+3)(x^2+3x+4)^4$

(4) $y = (\log x)^3$

$u = \log x$ とおくと、$y = u^3$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3(\log x)^2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3(\log x)^2}{x}$

(5) $y = \sin^4 x$

$u = \sin x$ とおくと、$y = u^4$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 4u^3$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 4(\sin x)^3 \cdot \cos x = 4\sin^3 x \cos x$

(6) $y = \cos^5 x$

$u = \cos x$ とおくと、$y = u^5$。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 5(\cos x)^4 \cdot (-\sin x) = -5\cos^4 x \sin x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 15(3x+4)^4$

(2) $\frac{dy}{dx} = 15x^2(x^3+4)^4$

(3) $\frac{dy}{dx} = 5(2x+3)(x^2+3x+4)^4$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{3(\log x)^2}{x}$

(5) $\frac{dy}{dx} = 4\sin^3 x \cos x$

(6) $\frac{dy}{dx} = -5\cos^4 x \sin x$