関数 $f(x) = xe^x$ の極値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^x$ の極値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) まず、関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を用いると、

$f'(x) = (x)'e^x + x(e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$

(2) 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^x > 0$ なので、$1+x = 0$ より、$x = -1$ となります。

(3) $x = -1$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化するかを確認します。

* $x < -1$ のとき、例えば $x = -2$ を考えると、$f'(-2) = (1-2)e^{-2} = -e^{-2} < 0$

* $x > -1$ のとき、例えば $x = 0$ を考えると、$f'(0) = (1+0)e^0 = 1 > 0$

したがって、$x = -1$ で $f'(x)$ の符号が負から正に変化するので、$x = -1$ で極小値をとります。

(4) 極小値を求めます。$f(-1) = (-1)e^{-1} = -\frac{1}{e}$

3. 最終的な答え

$x = -1$ のとき、極小値 $-\frac{1}{e}$ をとる。