関数 $\log(1+x)$ のマクローリン展開を利用して、関数 $\frac{\log(1+x)}{x}$ の $x=0$ 周辺での近似多項式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを一つ選びます。

1. 問題の内容

関数 $\log(1+x)$ のマクローリン展開を利用して、関数 $\frac{\log(1+x)}{x}$ の $x=0$ 周辺での近似多項式を求める問題です。選択肢の中から正しいものを一つ選びます。

2. 解き方の手順

まず、$\log(1+x)$ のマクローリン展開を求めます。一般に、

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots$

です。

次に、このマクローリン展開を $x$ で割ります。

$\frac{\log(1+x)}{x} = \frac{1}{x} \left( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \cdots \right)$

$= 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} + \cdots$

この結果と選択肢を比較します。

3. 最終的な答え

選択肢 2 が

$\frac{\log(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n} + \cdots$

と一致するので、これが答えです。