与えられた選択肢の中から、オイラーの公式を用いて表現された$\sin x$または$\cos x$の正しい式を選ぶ問題です。ここで、$i$は虚数単位を表します。

1. 問題の内容

与えられた選択肢の中から、オイラーの公式を用いて表現された$\sin x$または$\cos x$の正しい式を選ぶ問題です。ここで、$i$は虚数単位を表します。

2. 解き方の手順

オイラーの公式は、$e^{ix} = \cos x + i\sin x$ と表されます。これを用いて、$\cos x$と$\sin x$を$e^{ix}$と$e^{-ix}$で表すことを目指します。

まず、$e^{-ix}$を計算します。

$e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos x - i\sin x$

次に、$e^{ix} + e^{-ix}$と$e^{ix} - e^{-ix}$を計算します。

$e^{ix} + e^{-ix} = (\cos x + i\sin x) + (\cos x - i\sin x) = 2\cos x$

$e^{ix} - e^{-ix} = (\cos x + i\sin x) - (\cos x - i\sin x) = 2i\sin x$

したがって、以下の式が得られます。

$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$

$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$

選択肢の中で、これらの方程式と一致するものを探します。

選択肢1: $\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$ これは正しくありません。

選択肢2: $\sin x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2i}$ これは正しくありません。

選択肢3: $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ これは正しいです。

選択肢4: $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2i}$ これは正しくありません。

選択肢5: この中にはない。

3. 最終的な答え

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