与えられた関数の導関数を求める問題です。以下の4つの関数についてそれぞれ導関数を求めます。 (1) $y = \frac{3}{5}x^5 - x^3 - 2x + \frac{2}{3}$ (2) $y = (x-2)(x^2+1)$ (3) $y = x + 2 + \frac{1}{x}$ (4) $y = \frac{x-1}{x+1}$

1. 問題の内容

与えられた関数の導関数を求める問題です。以下の4つの関数についてそれぞれ導関数を求めます。

(1) $y = \frac{3}{5}x^5 - x^3 - 2x + \frac{2}{3}$

(2) $y = (x-2)(x^2+1)$

(3) $y = x + 2 + \frac{1}{x}$

(4) $y = \frac{x-1}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{3}{5}x^5 - x^3 - 2x + \frac{2}{3}$ の導関数を求める。

各項を微分します。$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$、定数の微分は0であることに注意します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{5} \cdot 5x^4 - 3x^2 - 2 + 0$

$\frac{dy}{dx} = 3x^4 - 3x^2 - 2$

(2) $y = (x-2)(x^2+1)$ の導関数を求める。

積の微分法則を使用します。$(uv)' = u'v + uv'$。

$u = x-2$, $v = x^2+1$ とおくと、$u' = 1$, $v' = 2x$ となります。

$\frac{dy}{dx} = 1 \cdot (x^2+1) + (x-2) \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = x^2 + 1 + 2x^2 - 4x$

$\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 1$

(3) $y = x + 2 + \frac{1}{x}$ の導関数を求める。

$\frac{1}{x} = x^{-1}$ と書き換えて微分します。

$\frac{dy}{dx} = 1 + 0 + (-1)x^{-2}$

$\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$

(4) $y = \frac{x-1}{x+1}$ の導関数を求める。

商の微分法則を使用します。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。

$u = x-1$, $v = x+1$ とおくと、$u' = 1$, $v' = 1$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x+1 - x + 1}{(x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 3x^4 - 3x^2 - 2$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - 4x + 1$

(3) $\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{1}{x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x+1)^2}$