与えられた関数 $f(x)$ に対して、指定された点 $a$ における微分係数 $f'(a)$ を求める問題です。4つの関数が与えられています。 (1) $f(x) = (x^2+1)^x$, $a=2$ (2) $f(x) = \arccos(3x-1)$, $a=\frac{1}{3}$ (3) $f(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$, $a=4$ (4) $f(x) = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(x^2+1)$, $a=1$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ に対して、指定された点 $a$ における微分係数 $f'(a)$ を求める問題です。4つの関数が与えられています。

(1) $f(x) = (x^2+1)^x$, $a=2$

(2) $f(x) = \arccos(3x-1)$, $a=\frac{1}{3}$

(3) $f(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$, $a=4$

(4) $f(x) = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(x^2+1)$, $a=1$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = (x^2+1)^x$, $a=2$

両辺の対数をとると、

$\log(f(x)) = x\log(x^2+1)$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \log(x^2+1) + x \cdot \frac{2x}{x^2+1}$

$f'(x) = f(x) \left( \log(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1} \right)$

$f'(x) = (x^2+1)^x \left( \log(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1} \right)$

$a=2$ を代入すると、

$f'(2) = (2^2+1)^2 \left( \log(2^2+1) + \frac{2(2^2)}{2^2+1} \right)$

$f'(2) = 25 \left( \log(5) + \frac{8}{5} \right)$

$f'(2) = 25\log(5) + 40$

(2) $f(x) = \arccos(3x-1)$, $a=\frac{1}{3}$

$f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1-(3x-1)^2}}$

$f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{1-(9x^2-6x+1)}}$

$f'(x) = -\frac{3}{\sqrt{-9x^2+6x}}$

$a=\frac{1}{3}$ を代入すると、

$f'(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{\sqrt{-9(\frac{1}{9})+6(\frac{1}{3})}}$

$f'(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{\sqrt{-1+2}}$

$f'(\frac{1}{3}) = -3$

(3) $f(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)$, $a=4$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{1+x^2}}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}}{1+x^2}$

$f'(x) = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2-x^2}} \cdot \frac{1+x^2 - x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

$f'(x) = \sqrt{1+x^2} \cdot \frac{1}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

$a=4$ を代入すると、

$f'(4) = \frac{1}{1+4^2}$

$f'(4) = \frac{1}{17}$

(4) $f(x) = x\arctan(x) - \frac{1}{2}\log(x^2+1)$, $a=1$

$f'(x) = \arctan(x) + x \cdot \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1}$

$f'(x) = \arctan(x) + \frac{x}{1+x^2} - \frac{x}{x^2+1}$

$f'(x) = \arctan(x)$

$a=1$ を代入すると、

$f'(1) = \arctan(1)$

$f'(1) = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(2) = 25\log(5) + 40$

(2) $f'(\frac{1}{3}) = -3$

(3) $f'(4) = \frac{1}{17}$

(4) $f'(1) = \frac{\pi}{4}$