問題は、次の2つの級数の収束半径を求めることです。 1. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n+1} x^n$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの級数の収束半径を求めることです。

1. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n+1} x^n$

2. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!} x^n$

2. 解き方の手順

収束半径を求めるには、比判定法を用います。

(1) 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n+1} x^n$ の収束半径を求める。

$a_n = \frac{3^n}{n+1} x^n$ とおくと、

$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |\frac{\frac{3^{n+1}}{n+2} x^{n+1}}{\frac{3^n}{n+1} x^n}| = |\frac{3^{n+1}}{3^n} \cdot \frac{n+1}{n+2} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n}| = |3 \cdot \frac{n+1}{n+2} \cdot x| = 3|x| \cdot \frac{n+1}{n+2}$

$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty} 3|x| \cdot \frac{n+1}{n+2} = 3|x| \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = 3|x|$.

比判定法より、$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n+1} x^n$ が収束するためには、$3|x| < 1$ でなければならない。したがって、 $|x| < \frac{1}{3}$ であり、収束半径は $R = \frac{1}{3}$ である。

(2) 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!} x^n$ の収束半径を求める。

$a_n = \frac{2}{n!} x^n$ とおくと、

$|\frac{a_{n+1}}{a_n}| = |\frac{\frac{2}{(n+1)!} x^{n+1}}{\frac{2}{n!} x^n}| = |\frac{2}{2} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} \cdot \frac{x^{n+1}}{x^n}| = |\frac{1}{n+1} x| = \frac{|x|}{n+1}$

$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \lim_{n \to \infty} \frac{|x|}{n+1} = 0$.

比判定法より、$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < 1$ であるため、常に収束する。したがって、収束半径は $R = \infty$ である。

3. 最終的な答え

(1) 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{n+1} x^n$ の収束半径は $\frac{1}{3}$

(2) 級数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!} x^n$ の収束半径は $\infty$