与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = (4x+3) \sin^{-1}x$ (2) $y = \cos^{-1}x \tan^{-1}x$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = (4x+3) \sin^{-1}x$

(2) $y = \cos^{-1}x \tan^{-1}x$

2. 解き方の手順

(1) $y = (4x+3) \sin^{-1}x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

ここで、$u = 4x+3$、$v = \sin^{-1}x$ とすると、

$u' = 4$、$v' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = 4\sin^{-1}x + (4x+3) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$\frac{dy}{dx} = 4\sin^{-1}x + \frac{4x+3}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $y = \cos^{-1}x \tan^{-1}x$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

ここで、$u = \cos^{-1}x$、$v = \tan^{-1}x$ とすると、

$u' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$、$v' = \frac{1}{1+x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\tan^{-1}x + \cos^{-1}x \frac{1}{1+x^2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\tan^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\cos^{-1}x}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 4\sin^{-1}x + \frac{4x+3}{\sqrt{1-x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{\tan^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\cos^{-1}x}{1+x^2}$