## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

与えられた関数の微分を求めます。ここでは、(4), (6), (8)の3つの関数について考えます。

(4) $y = \frac{x+1}{\arctan(x)}$

(6) $y = \arctan(\sqrt{x})$

(8) $y = \sqrt{\arctan(x) - 1}$

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2. 解き方の手順

(4) **商の微分公式** を使います。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u}{v}$ の導関数が $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ で与えられるというものです。

この場合、$u = x+1$ 、 $v = \arctan(x)$ となります。

$u' = \frac{d}{dx}(x+1) = 1$

$v' = \frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}$

したがって、

$y' = \frac{1 \cdot \arctan(x) - (x+1) \cdot \frac{1}{1+x^2}}{(\arctan(x))^2}$

$y' = \frac{\arctan(x) - \frac{x+1}{1+x^2}}{(\arctan(x))^2}$

$y' = \frac{\arctan(x)(1+x^2) - (x+1)}{(1+x^2)(\arctan(x))^2}$

(6) **合成関数の微分**（チェーンルール）を使います。

$y = \arctan(\sqrt{x})$

$u = \sqrt{x}$ とすると、 $y = \arctan(u)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} = \frac{1}{1+x}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

したがって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(8) **合成関数の微分**（チェーンルール）を使います。

$y = \sqrt{\arctan(x) - 1}$

$u = \arctan(x) - 1$ とすると、 $y = \sqrt{u}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2\sqrt{\arctan(x)-1}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\arctan(x)-1) = \frac{1}{1+x^2}$

したがって、

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\arctan(x)-1}} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\arctan(x)-1}}$

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3. 最終的な答え

(4) $y' = \frac{\arctan(x)(1+x^2) - (x+1)}{(1+x^2)(\arctan(x))^2}$

(6) $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

(8) $y' = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\arctan(x)-1}}$