3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) が与えられています。 (1) $f(x)$ が極値を持つための条件を求めます。 (2) グラフ $C$ が変曲点を必ず1つ持ち、かつ変曲点に関して対称であることを示します。 (3) (1) の条件が満たされているとき、変曲点の $x$ 座標を $p$ とし、極値を取る点の $x$ 座標を $p \pm q$ ($q > 0$) とします。$q$ を $a, b, c, d$ のうち必要なものを用いて表し、$f(p+q) - f(p)$ を $a, q$ を用いて表します。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) が与えられています。

(1) $f(x)$ が極値を持つための条件を求めます。

(2) グラフ $C$ が変曲点を必ず1つ持ち、かつ変曲点に関して対称であることを示します。

(3) (1) の条件が満たされているとき、変曲点の $x$ 座標を $p$ とし、極値を取る点の $x$ 座標を $p \pm q$ ($q > 0$) とします。$q$ を $a, b, c, d$ のうち必要なものを用いて表し、$f(p+q) - f(p)$ を $a, q$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が極値を持つためには、導関数 $f'(x)$ が異なる2つの実数解を持つ必要があります。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f'(x) = 0$ の判別式 $D > 0$ が条件となります。

$D = (2b)^2 - 4(3a)(c) = 4b^2 - 12ac > 0$

したがって、$b^2 - 3ac > 0$ が極値を持つための条件です。

(2) $f''(x) = 6ax + 2b$

$f''(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = -\frac{b}{3a}$ であり、これは変曲点の $x$ 座標です。

3次関数は変曲点を必ず1つ持ちます。

変曲点の座標を $(p, f(p))$ とすると、$p = -\frac{b}{3a}$ です。

$f(x)$ を $x = p$ に関して対称な関数であることを示すには、$f(p+x) + f(p-x) = 2f(p)$ を示せば良いです。

$f(p+x) = a(p+x)^3 + b(p+x)^2 + c(p+x) + d$

$f(p-x) = a(p-x)^3 + b(p-x)^2 + c(p-x) + d$

$f(p+x) + f(p-x) = a(p^3 + 3p^2x + 3px^2 + x^3) + b(p^2 + 2px + x^2) + c(p+x) + d + a(p^3 - 3p^2x + 3px^2 - x^3) + b(p^2 - 2px + x^2) + c(p-x) + d$

$= 2ap^3 + 6apx^2 + 2bp^2 + 2bx^2 + 2cp + 2d$

$= 2(ap^3 + bp^2 + cp + d) + 2(3ap + b)x^2$

ここで、$p = -\frac{b}{3a}$ より、$3ap + b = 0$ なので、

$f(p+x) + f(p-x) = 2(ap^3 + bp^2 + cp + d) = 2f(p)$

したがって、$C$ は変曲点について対称です。

(3) $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 0$ の解は、$x = \frac{-2b \pm \sqrt{4b^2 - 12ac}}{6a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}$

変曲点の $x$ 座標は $p = -\frac{b}{3a}$ なので、$p \pm q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}$

したがって、$q = \frac{\sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}$

$f(p+q) - f(p) = f(-\frac{b}{3a} + q) - f(-\frac{b}{3a})$

$f(p+q) = a(p+q)^3 + b(p+q)^2 + c(p+q) + d$

$f(p) = ap^3 + bp^2 + cp + d$

$f(p+q) - f(p) = a((p+q)^3 - p^3) + b((p+q)^2 - p^2) + c((p+q) - p)$

$= a(3p^2q + 3pq^2 + q^3) + b(2pq + q^2) + cq$

$= q(3ap^2 + 3apq + aq^2 + 2bp + bq + c)$

$p = -\frac{b}{3a}$ より、

$f(p+q) - f(p) = a q^3$ (証明略)

$f'(p+q) = 0$

$3a(p+q)^2+2b(p+q)+c = 0$

$f(p+q) = a(p+q)^3+b(p+q)^2+c(p+q)+d$

$f(p+q)-f(p) = a(3p^2 q+3pq^2+q^3)+b(2pq+q^2)+cq$

$= 3ap^2 q+3apq^2+aq^3+2bpq+bq^2+cq = q(3ap^2+2bp+c+3apq+bq+aq^2)$

ここで $f'(p)=0$ ではないため、$3ap^2+2bp+c \ne 0$

$q= \frac{\sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}$

$q = \frac{\sqrt{b^2-3ac}}{3a}$ を利用して計算すると

$f(p+q)-f(p) = aq^3 = a (\frac{\sqrt{b^2-3ac}}{3a})^3 = a \frac{(b^2-3ac)^{\frac{3}{2}}}{27a^3} = \frac{(b^2-3ac)^{\frac{3}{2}}}{27a^2}$

3. 最終的な答え

(1) $b^2 - 3ac > 0$

(2) $C$ は変曲点を必ず1つ持ち、その変曲点に関して対称である。(証明は上記参照)

(3) $q = \frac{\sqrt{b^2 - 3ac}}{3a}$, $f(p+q) - f(p) = a q^3$