(1) $S_n = \sum_{k=1}^n k \left(\frac{1}{3}\right)^k$ とおくとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。 (2) 最初に $n$ 回を限度として2以下の目が出るまでサイコロを投げ、次にサイコロを投げた回数だけコインを投げる。ただし、サイコロを $n$ 回投げて $n$ 回とも3以上の目が出たときには、コインを $n$ 回投げる。コインの表がちょうど1回出る確率を $P_n$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} P_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $S_n = \sum_{k=1}^n k \left(\frac{1}{3}\right)^k$ とおくとき、$\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。

(2) 最初に $n$ 回を限度として2以下の目が出るまでサイコロを投げ、次にサイコロを投げた回数だけコインを投げる。ただし、サイコロを $n$ 回投げて $n$ 回とも3以上の目が出たときには、コインを $n$ 回投げる。コインの表がちょうど1回出る確率を $P_n$ とするとき、$\lim_{n \to \infty} P_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$S_n = \sum_{k=1}^n k \left(\frac{1}{3}\right)^k$ の極限を求める。

$S = \sum_{k=1}^\infty k x^k$ を考える。ただし、$x = \frac{1}{3}$。

$T = \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}$ である。

$T' = \sum_{k=1}^\infty k x^{k-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$

$xT' = \sum_{k=1}^\infty k x^k = \frac{x}{(1-x)^2}$

よって、$S = \sum_{k=1}^\infty k \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{\frac{1}{3}}{(1-\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$。

(2)

サイコロを $n$ 回投げて2以下の目が出るまで投げる回数を $X$ とする。

$X=k$ となるのは、$k-1$ 回まで3以上の目が出て、$k$ 回目に2以下の目が出るとき。

$P(X=k) = \left(\frac{4}{6}\right)^{k-1} \cdot \frac{2}{6} = \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{3}$ ($1 \leq k \leq n$)

$P(X=n) = \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^n$

$X=k$ のとき、コインを $k$ 回投げて表がちょうど1回出る確率は ${}_k C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} = k \left(\frac{1}{2}\right)^k$。

$X=n$ 回サイコロを投げても2以下の目が出ないとき、コインを $n$ 回投げて表がちょうど1回出る確率は $n \left(\frac{1}{2}\right)^n$。

$P_n = \sum_{k=1}^{n-1} P(X=k) \cdot k \left(\frac{1}{2}\right)^k + P(X=n) \cdot n \left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} \cdot \frac{1}{3} \cdot k \left(\frac{1}{2}\right)^k + \left(\frac{2}{3}\right)^n \cdot n \left(\frac{1}{2}\right)^n$

$P_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} k \left(\frac{1}{2}\right)^k + \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \frac{1}{3} n \left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n n \left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{3} \frac{k}{(3/2) (3/2)^{k}} + \frac{n}{3} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n n \left(\frac{1}{2}\right)^n$

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} k \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^\infty \left(\frac{2}{3}\right)^{k-1} k \left(\frac{1}{2}\right)^k = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^\infty k \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} (\frac{2}{3})^{k-1}= \frac{1}{3} \sum_{k=1}^{\infty} k (\frac{1}{2} * \frac{2}{3})^(k-1) = \frac{1}{3} \sum_{k=1}^\infty k (\frac{1}{3})^{k-1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{(1 - \frac{1}{3})^2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$.

$\lim_{n \to \infty} n \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \left(\frac{1}{2}\right)^n + n\left(\frac{2}{3}\right)^n \left(\frac{1}{2}\right)^n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} n (\frac{1}{3})^{(n-1)} \cdot (\frac{1}{2})^n + n\left(\frac{1}{3}\right)^n = 0$

$\lim_{n \to \infty} P_n = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{3}{4}$

(2) $\lim_{n \to \infty} P_n = \frac{3}{4}$