次の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to +0} x^x$ (2) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$ (3) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{(\log x)^2}}$ (4) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^x$ (5) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$

1. 問題の内容

次の5つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to +0} x^x$

(2) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{(\log x)^2}}$

(4) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^x$

(5) $\lim_{x \to +0} (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$

2. 解き方の手順

ヒントとして、$\log(\lim_{x \to a} f(x)) = \lim_{x \to a} \log f(x)$ を用いると示されています。

各問題について、このヒントを利用して解いていきます。

(1) $y = x^x$ とおくと、$\log y = x \log x$ 。

$\lim_{x \to +0} x \log x = \lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}}$ と変形できるので、ロピタルの定理より

$\lim_{x \to +0} \frac{\log x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} (-x) = 0$

よって、$\lim_{x \to +0} \log y = 0$ なので、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

(2) $y = x^{\frac{1}{x}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{x} \log x = \frac{\log x}{x}$ 。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}$ は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理より

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 0$

よって、$\lim_{x \to \infty} \log y = 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

(3) $y = x^{\frac{1}{(\log x)^2}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{(\log x)^2} \log x = \frac{1}{\log x}$ 。

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\log x} = 0$

よって、$\lim_{x \to \infty} \log y = 0$ なので、$\lim_{x \to \infty} y = e^0 = 1$

(4) $y = (\sin x)^x$ とおくと、$\log y = x \log (\sin x)$ 。

$\lim_{x \to +0} x \log (\sin x) = \lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\frac{1}{x}}$

これは $\frac{-\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理より

$\lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to +0} \frac{-x^2 \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to +0} \frac{-x}{\sin x} \cdot x \cos x = -1 \cdot 0 = 0$

よって、$\lim_{x \to +0} \log y = 0$ なので、$\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

(5) $y = (\sin x)^{\frac{1}{\log x}}$ とおくと、$\log y = \frac{1}{\log x} \log (\sin x) = \frac{\log (\sin x)}{\log x}$ 。

$\lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\log x}$ は $\frac{-\infty}{-\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理より

$\lim_{x \to +0} \frac{\log (\sin x)}{\log x} = \lim_{x \to +0} \frac{\frac{\cos x}{\sin x}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +0} \frac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to +0} \cos x \cdot \frac{x}{\sin x} = 1 \cdot 1 = 1$

よって、$\lim_{x \to +0} \log y = 1$ なので、$\lim_{x \to +0} y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) 1

(4) 1

(5) e