関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ のマクローリン級数を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ のマクローリン級数を求める。

2. 解き方の手順

マクローリン級数は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開である。テイラー展開は一般に次のように表される。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$

マクローリン級数の場合は $a=0$ なので、

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

となる。ここで、$f^{(n)}(0)$ は $f(x)$ の $n$ 階微分を $x=0$ で評価した値である。

まず、$f(x)$ の導関数をいくつか計算する。

$f(x) = (1-x)^{-1}$

$f'(x) = (1-x)^{-2}$

$f''(x) = 2(1-x)^{-3}$

$f'''(x) = 6(1-x)^{-4}$

$f^{(4)}(x) = 24(1-x)^{-5}$

一般に、$f^{(n)}(x) = n!(1-x)^{-(n+1)}$ と推測できる。

次に、$x=0$ での値を計算する。

$f(0) = (1-0)^{-1} = 1$

$f'(0) = (1-0)^{-2} = 1$

$f''(0) = 2(1-0)^{-3} = 2$

$f'''(0) = 6(1-0)^{-4} = 6$

$f^{(4)}(0) = 24(1-0)^{-5} = 24$

一般に、$f^{(n)}(0) = n!$ となる。

したがって、マクローリン級数は

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n!}x^n = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

これは等比級数である。 $|x|<1$ のとき、この級数は収束し、

$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$

となる。

3. 最終的な答え

$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$