以下の4つの関数を微分せよ。 (1) $y = \arcsin x + \arccos x$ (2) $y = (\sqrt{x} - 1) \arccos x$ (3) (画像が不鮮明のため、省略) (4) $y = \arcsin x \arctan x$

1. 問題の内容

以下の4つの関数を微分せよ。

(1) $y = \arcsin x + \arccos x$

(2) $y = (\sqrt{x} - 1) \arccos x$

(3) (画像が不鮮明のため、省略)

(4) $y = \arcsin x \arctan x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \arcsin x + \arccos x$ の微分

$\arcsin x$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$、$\arccos x$ の微分は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ である。したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

(2) $y = (\sqrt{x} - 1) \arccos x$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'\cdot v + u \cdot v'$ を用いる。

$u = \sqrt{x} - 1$ とすると $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v = \arccos x$ とすると $v' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \arccos x - (\sqrt{x} - 1) \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{\arccos x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) 問題文が不鮮明なため、解けません。

(4) $y = \arcsin x \arctan x$ の微分

積の微分公式 $\frac{d}{dx}(uv) = u'\cdot v + u \cdot v'$ を用いる。

$u = \arcsin x$ とすると $u' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$v = \arctan x$ とすると $v' = \frac{1}{1+x^2}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \arctan x + \arcsin x \frac{1}{1+x^2} = \frac{\arctan x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\arcsin x}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 0$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{\arccos x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) 問題文が不鮮明なため、解けません。

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{\arctan x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\arcsin x}{1+x^2}$