ライプニッツの法則を用いて、以下の関数の $n$ 階導関数を求める。 1. $f(x) = x\cos x$

1. 問題の内容

ライプニッツの法則を用いて、以下の関数の $n$ 階導関数を求める。

1. $f(x) = x\cos x$

2. $f(x) = xe^x$

3. $f(x) = x^2e^x$

2. 解き方の手順

ライプニッツの法則とは、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 階導関数を求めるための公式で、以下の通りである。

$\frac{d^n}{dx^n}[u(x)v(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x)$

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数であり、$u^{(k)}(x)$ は $u(x)$ の $k$ 階導関数を表す。

1. $f(x) = x\cos x$ の場合：

$u(x) = x$ と $v(x) = \cos x$ とする。

$u'(x) = 1$, $u''(x) = 0$, $u^{(k)}(x) = 0$ for $k \ge 2$.

$v^{(n-k)}(x) = \cos(x + \frac{(n-k)\pi}{2})$

したがって、ライプニッツの法則より、

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x) = \binom{n}{0} x \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1} 1 \cdot \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k} 0 \cdot \cos(x + \frac{(n-k)\pi}{2})$

$f^{(n)}(x) = x \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{(n-1)\pi}{2})$

$f^{(n)}(x) = x \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n \cos(x + \frac{n\pi}{2} - \frac{\pi}{2}) = x \cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n \sin(x + \frac{n\pi}{2})$

2. $f(x) = xe^x$ の場合：

$u(x) = x$ と $v(x) = e^x$ とする。

$u'(x) = 1$, $u''(x) = 0$, $u^{(k)}(x) = 0$ for $k \ge 2$.

$v^{(n-k)}(x) = e^x$

したがって、ライプニッツの法則より、

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x) = \binom{n}{0} x e^x + \binom{n}{1} 1 \cdot e^x + \sum_{k=2}^{n} \binom{n}{k} 0 \cdot e^x$

$f^{(n)}(x) = x e^x + n e^x = (x+n)e^x$

3. $f(x) = x^2e^x$ の場合：

$u(x) = x^2$ と $v(x) = e^x$ とする。

$u'(x) = 2x$, $u''(x) = 2$, $u'''(x) = 0$, $u^{(k)}(x) = 0$ for $k \ge 3$.

$v^{(n-k)}(x) = e^x$

したがって、ライプニッツの法則より、

$f^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x) = \binom{n}{0} x^2 e^x + \binom{n}{1} 2x e^x + \binom{n}{2} 2 e^x + \sum_{k=3}^{n} \binom{n}{k} 0 \cdot e^x$

$f^{(n)}(x) = x^2 e^x + 2nx e^x + \frac{n(n-1)}{2} 2 e^x = x^2e^x + 2nxe^x + n(n-1)e^x = (x^2 + 2nx + n^2 - n)e^x$

$f^{(n)}(x) = (x^2 + 2nx + n(n-1))e^x = (x^2 + 2nx + n^2 - n)e^x = (x+n)^2 e^x - ne^x$

3. 最終的な答え

1. $f(x) = x\cos x$ のとき、 $f^{(n)}(x) = x\cos(x + \frac{n\pi}{2}) + n\sin(x + \frac{n\pi}{2})$

2. $f(x) = xe^x$ のとき、 $f^{(n)}(x) = (x+n)e^x$

3. $f(x) = x^2e^x$ のとき、 $f^{(n)}(x) = (x^2 + 2nx + n^2 - n)e^x$