与えられた関数 $y = \frac{1}{1+x^2}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{1}{1+x^2}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{1}{1+x^2}$ の微分を求めるには、商の微分公式または合成関数の微分（チェインルール）を使用します。ここでは、合成関数の微分を使います。

まず、$u = 1+x^2$ とおくと、$y = \frac{1}{u} = u^{-1}$ となります。

次に、それぞれの微分を求めます。

$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

合成関数の微分（チェインルール）より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$= -\frac{1}{u^2} \cdot 2x$

$u$ を元に戻すと、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1+x^2)^2} \cdot 2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$