逆三角関数の微分を行う問題です。具体的には以下の4つの関数を微分します。 (1) $y = \sin^{-1} 4x$ (2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{5}$ (3) $y = \tan^{-1} 3x$ (4) $y = \tan^{-1} \frac{2}{3}x$

1. 問題の内容

逆三角関数の微分を行う問題です。具体的には以下の4つの関数を微分します。

(1) $y = \sin^{-1} 4x$

(2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{5}$

(3) $y = \tan^{-1} 3x$

(4) $y = \tan^{-1} \frac{2}{3}x$

2. 解き方の手順

逆三角関数の微分公式を使用します。

- $(\sin^{-1} x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

- $(\cos^{-1} x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

- $(\tan^{-1} x)' = \frac{1}{1+x^2}$

また、合成関数の微分も使用します。$y = f(g(x))$ のとき、$y' = f'(g(x))g'(x)$

(1) $y = \sin^{-1} 4x$ の微分

$u = 4x$ とすると、 $y = \sin^{-1} u$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$\frac{du}{dx} = 4$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(4x)^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$

(2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{5}$ の微分

$u = \frac{x}{5}$ とすると、 $y = \cos^{-1} u$。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{5}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{5})^2}} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{5\sqrt{1-\frac{x^2}{25}}} = -\frac{1}{5\sqrt{\frac{25-x^2}{25}}} = -\frac{1}{5\frac{\sqrt{25-x^2}}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$

(3) $y = \tan^{-1} 3x$ の微分

$u = 3x$ とすると、 $y = \tan^{-1} u$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+(3x)^2} \cdot 3 = \frac{3}{1+9x^2}$

(4) $y = \tan^{-1} \frac{2}{3}x$ の微分

$u = \frac{2}{3}x$ とすると、$y = \tan^{-1} u$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1+u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{2}{3}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{2}{3}x)^2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3(1+\frac{4}{9}x^2)} = \frac{2}{3(\frac{9+4x^2}{9})} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{9+4x^2} = \frac{6}{9+4x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1-16x^2}}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{1+9x^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{6}{9+4x^2}$