$\sqrt{17}$ の近似値を、関数 $f(x) = \sqrt{1+x}$ の $x=0$ での2次のテーラー展開を利用して求めます。まず、$f(x)$ の2次のテーラー展開を求め、次に $\sqrt{17} = 4\sqrt{1+\frac{1}{16}}$ と変形して、求めたテーラー展開に $x=\frac{1}{16}$ を代入することで $\sqrt{17}$ の近似値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{17}$ の近似値を、関数 $f(x) = \sqrt{1+x}$ の $x=0$ での2次のテーラー展開を利用して求めます。まず、$f(x)$ の2次のテーラー展開を求め、次に $\sqrt{17} = 4\sqrt{1+\frac{1}{16}}$ と変形して、求めたテーラー展開に $x=\frac{1}{16}$ を代入することで $\sqrt{17}$ の近似値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \sqrt{1+x}$ の $x=0$ における2次のテーラー展開を求めます。

$f(x) = \sqrt{1+x}$

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f(0) = 1$

$f'(0) = \frac{1}{2}$

$f''(0) = -\frac{1}{4}$

よって、2次のテーラー展開は次のようになります。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + R_3$

したがって、空欄①に入るのは $-\frac{1}{8}$ です。

(2) $\sqrt{17} = 4\sqrt{1+\frac{1}{16}}$ なので、$x = \frac{1}{16}$ をテーラー展開に代入します。

$\sqrt{17} \approx 4\left(1 + \frac{1}{2}\left(\frac{1}{16}\right) - \frac{1}{8}\left(\frac{1}{16}\right)^2\right)$

$= 4\left(1 + \frac{1}{32} - \frac{1}{8 \cdot 256}\right)$

$= 4\left(1 + \frac{1}{32} - \frac{1}{2048}\right)$

$= 4\left(\frac{2048+64-1}{2048}\right)$

$= 4\left(\frac{2111}{2048}\right)$

$= \frac{2111}{512}$

したがって、空欄②に入るのは $\frac{2111}{512}$ です。

3. 最終的な答え

①: -1/8

②: 2111/512