(1) $y = e^{-2x} \sin 3x$ (2) $y = \log\left(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)$ (3) $y = \log(\sin(e^{x}))$ (4) $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$)

##

1. 問題の内容

与えられた問題は以下の3つのパートに分かれています。

1. 以下の関数を微分してください：

(1) $y = e^{-2x} \sin 3x$

(2) $y = \log\left(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)$

(3) $y = \log(\sin(e^{x}))$

(4) $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$)

2. 以下の関数の第$n$次導関数を求めてください：

(1) $f(x) = \log(2x+1)$

(2) $f(x) = \sin 2x$

3. 曲線 $y = \tan^2 x$ 上の点 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{3}\right)$ における接線の方程式を求めてください。

以下に各問題の解き方と答えを示します。

##

2. 解き方の手順

###

1. 微分

(1) $y = e^{-2x} \sin 3x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = e^{-2x}$ と $v = \sin 3x$ とすると、

$u' = -2e^{-2x}$

$v' = 3\cos 3x$

したがって、

$y' = (-2e^{-2x})\sin 3x + e^{-2x}(3\cos 3x) = e^{-2x}(-2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(2) $y = \log\left(\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}\right)$

まず、対数の性質を用いて式を簡略化します。

$y = \log(1-e^{-x}) - \log(1+e^{-x})$

次に、合成関数の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u}\frac{du}{dx}$

$y' = \frac{1}{1-e^{-x}}(e^{-x}) - \frac{1}{1+e^{-x}}(-e^{-x}) = \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} + \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$

$= \frac{e^{-x}(1+e^{-x}) + e^{-x}(1-e^{-x})}{(1-e^{-x})(1+e^{-x})} = \frac{e^{-x} + e^{-2x} + e^{-x} - e^{-2x}}{1 - e^{-2x}} = \frac{2e^{-x}}{1-e^{-2x}} = \frac{2e^x}{e^{2x}-1}$

(3) $y = \log(\sin(e^{x}))$

合成関数の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx} \log(\sin(e^{x})) = \frac{1}{\sin(e^{x})} \cdot \cos(e^{x}) \cdot e^{x} = \frac{e^{x}\cos(e^{x})}{\sin(e^{x})} = e^{x}\cot(e^{x})$

(4) $y = x^{\sin x}$ ($x > 0$)

両辺の対数をとります。

$\log y = \sin x \log x$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \log x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

###

2. 第n次導関数

(1) $f(x) = \log(2x+1)$

$f'(x) = \frac{2}{2x+1} = 2(2x+1)^{-1}$

$f''(x) = -2(2)(2x+1)^{-2} = -2^2(2x+1)^{-2}$

$f'''(x) = 2^2(2)(2)(2x+1)^{-3} = 2^3 \cdot 2 (2x+1)^{-3}$

$f^{(4)}(x) = -2^3 (2)(3)(2)(2x+1)^{-4} = -2^4 \cdot 6 (2x+1)^{-4}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{2^n (n-1)!}{(2x+1)^n}$

(2) $f(x) = \sin 2x$

$f'(x) = 2\cos 2x = 2\sin (2x + \frac{\pi}{2})$

$f''(x) = -2^2 \sin 2x = 2^2 \sin (2x + 2 \frac{\pi}{2})$

$f'''(x) = -2^3 \cos 2x = 2^3 \sin (2x + 3 \frac{\pi}{2})$

したがって、

$f^{(n)}(x) = 2^n \sin(2x + n \frac{\pi}{2})$

###

3. 接線の方程式

$y = \tan^2 x$

$\frac{dy}{dx} = 2 \tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = 2 \tan x \sec^2 x$

点 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{3}\right)$ における傾きは、

$\frac{dy}{dx}\Big|_{x=\frac{\pi}{6}} = 2 \tan \frac{\pi}{6} \sec^2 \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{9}$

接線の方程式は、

$y - \frac{1}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{9} \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$

$y = \frac{8\sqrt{3}}{9} x - \frac{8\sqrt{3}\pi}{54} + \frac{1}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{9} x - \frac{4\sqrt{3}\pi}{27} + \frac{1}{3}$

##

3. 最終的な答え

1. (1) $y' = e^{-2x}(-2\sin 3x + 3\cos 3x)$

(2) $y' = \frac{2e^x}{e^{2x}-1}$

(3) $y' = e^{x}\cot(e^{x})$

(4) $y' = x^{\sin x} \left( \cos x \log x + \frac{\sin x}{x} \right)$

2. (1) $f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{2^n (n-1)!}{(2x+1)^n}$

(2) $f^{(n)}(x) = 2^n \sin(2x + n \frac{\pi}{2})$

3. $y = \frac{8\sqrt{3}}{9} x - \frac{4\sqrt{3}\pi}{27} + \frac{1}{3}$