問題は、以下の二つの無限級数が収束するかどうかを調べ、収束する場合はその和を求めるものです。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$

1. 問題の内容

問題は、以下の二つの無限級数が収束するかどうかを調べ、収束する場合はその和を求めるものです。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}$ について

* 部分分数分解を行います。$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$ とおきます。

* $1 = A(2n+1) + B(2n-1)$ となります。

* $n = \frac{1}{2}$ のとき、$1 = 2A$ より $A = \frac{1}{2}$。

* $n = -\frac{1}{2}$ のとき、$1 = -2B$ より $B = -\frac{1}{2}$。

* よって、$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})$ となります。

* 部分和 $S_N = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{N} (\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2} [ (1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + ... + (\frac{1}{2N-1} - \frac{1}{2N+1}) ] = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2N+1})$。

* $N \to \infty$ のとき、$\frac{1}{2N+1} \to 0$ なので、$\lim_{N \to \infty} S_N = \frac{1}{2}$。

* したがって、級数は収束し、その和は $\frac{1}{2}$ です。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$ について

* これは初項 $\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比級数です。

* 等比級数の和の公式は $S = \frac{a}{1-r}$ （$|r|<1$のとき収束）です。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比です。

* この場合、$a = \frac{1}{2}$, $r = \frac{1}{2}$ なので、$S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$。

* したがって、級数は収束し、その和は 1 です。

3. 最終的な答え

(1) 収束し、和は $\frac{1}{2}$

(2) 収束し、和は $1$