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関数 $y = \cos(x^3)$ を微分せよ。

解析学微分合成関数三角関数連鎖律
2025/6/6

1. 問題の内容

関数 y=cos⁡(x3)y = \cos(x^3) を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行います。
まず、y=cos⁡(u)y = \cos(u) と u=x3u = x^3 と置きます。
yy を xx で微分するには、連鎖律（chain rule）を使います。
dydx=dydu⋅dudx\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
dydu=dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{dy}{du} = \frac{d}{du} \cos(u) = -\sin(u)
dudx=ddxx3=3x2\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} x^3 = 3x^2
したがって、
dydx=−sin⁡(u)⋅3x2=−sin⁡(x3)⋅3x2\frac{dy}{dx} = -\sin(u) \cdot 3x^2 = -\sin(x^3) \cdot 3x^2
dydx=−3x2sin⁡(x3)\frac{dy}{dx} = -3x^2 \sin(x^3)

3. 最終的な答え

y′=−3x2sin⁡(x3)y' = -3x^2 \sin(x^3)

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