関数 $f(x) = \log(2x+1)$ の第 $n$ 次導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(2x+1)$ の第 $n$ 次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、いくつかの低次の導関数を計算して、規則性を見つける。

$f(x) = \log(2x+1)$

$f'(x) = \frac{2}{2x+1} = 2(2x+1)^{-1}$

$f''(x) = 2(-1)(2x+1)^{-2}(2) = -2^2 (2x+1)^{-2}$

$f'''(x) = -2^2(-2)(2x+1)^{-3}(2) = 2^3 \cdot 2 (2x+1)^{-3} = 2^3 \cdot 1 \cdot 2 (2x+1)^{-3}$

$f^{(4)}(x) = 2^3 \cdot 2 (-3) (2x+1)^{-4} (2) = -2^4 \cdot 6 (2x+1)^{-4} = -2^4 \cdot 3! (2x+1)^{-4}$

一般に、

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} 2^n (n-1)! (2x+1)^{-n}$

導出過程:

$f^{(n)}(x) = \frac{d^n}{dx^n} \log(2x+1)$

$f'(x) = \frac{2}{2x+1}$

$f''(x) = \frac{-2^2}{(2x+1)^2}$

$f'''(x) = \frac{2^3 \cdot 2}{(2x+1)^3}$

$f^{(4)}(x) = \frac{-2^4 \cdot 6}{(2x+1)^4}$

$f^{(5)}(x) = \frac{2^5 \cdot 24}{(2x+1)^5}$

$f^{(n)}(x) = (-1)^{n-1} \frac{2^n (n-1)!}{(2x+1)^n}$

3. 最終的な答え

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1} 2^n (n-1)!}{(2x+1)^n}$