* 指数を整理します。$25^x$ は $(5^2)^x = 5^{2x}$ と書き換えられます。 * 方程式は $5^{2x} = 5^{x+3}$ となります。 * 指数関数なので、指数部分が等しくなる必要があります。$2x = x+3$ * $x$ について解きます。

## 問題の回答

以下に画像の問題の解答を示します。

### (1) 方程式 $25^x = 5^{x+3}$ を解け。

1. 解き方の手順

* 指数を整理します。$25^x$ は $(5^2)^x = 5^{2x}$ と書き換えられます。

* 方程式は $5^{2x} = 5^{x+3}$ となります。

* 指数関数なので、指数部分が等しくなる必要があります。$2x = x+3$

* $x$ について解きます。

2. 最終的な答え

$x = 3$

### (2) 方程式 $\log_3 x + \log_3 (x+2) = 1$ を解け。

1. 解き方の手順

* 対数の性質を利用して、左辺をまとめます。 $\log_3 x + \log_3 (x+2) = \log_3 [x(x+2)]$

* 方程式は $\log_3 [x(x+2)] = 1$ となります。

* 対数の定義から、 $x(x+2) = 3^1 = 3$

* 二次方程式 $x^2 + 2x - 3 = 0$ を解きます。

* 因数分解すると $(x+3)(x-1) = 0$ なので、$x = -3, 1$

* 対数関数において、真数は正である必要があるため、$x > 0$ かつ $x+2 > 0$ でなければなりません。したがって、$x = -3$ は解として不適切です。

2. 最終的な答え

$x = 1$

### (3) $-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ で $\cos \theta = \frac{1}{3}$ が成り立つとき、$\sin \theta$, $\tan \theta$ の値を求めよ。

1. 解き方の手順

* 三角関数の基本公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用します。

* $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

* $\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$

* $-\frac{\pi}{2} < \theta < 0$ なので、$\sin \theta < 0$。したがって、$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

* $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = -2\sqrt{2}$

2. 最終的な答え

$\sin \theta = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\tan \theta = -2\sqrt{2}$

### (4) $\alpha$ が鋭角、$\beta$ が鈍角で、$\sin \alpha = \frac{1}{7}$, $\sin \beta = \frac{11}{14}$ のとき、$\cos(\alpha + \beta)$ の値を求めよ。

1. 解き方の手順

* $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ を利用します。

* $\cos \alpha$ と $\cos \beta$ を求める必要があります。

* $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

* $\alpha$ は鋭角なので、$\cos \alpha > 0$。したがって、$\cos \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$

* $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta = 1 - (\frac{11}{14})^2 = 1 - \frac{121}{196} = \frac{75}{196}$

* $\beta$ は鈍角なので、$\cos \beta < 0$。したがって、$\cos \beta = -\sqrt{\frac{75}{196}} = -\frac{5\sqrt{3}}{14}$

* $\cos(\alpha + \beta) = (\frac{4\sqrt{3}}{7})(-\frac{5\sqrt{3}}{14}) - (\frac{1}{7})(\frac{11}{14}) = -\frac{60}{98} - \frac{11}{98} = -\frac{71}{98}$

2. 最終的な答え

$\cos(\alpha + \beta) = -\frac{71}{98}$

### (5) $\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{x^3+1}$ を求めよ。

1. 解き方の手順

* 分母を因数分解します。 $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$

* $\frac{x+1}{x^3+1} = \frac{x+1}{(x+1)(x^2 - x + 1)} = \frac{1}{x^2 - x + 1}$ ($x \neq -1$)

* $\lim_{x \to -1} \frac{1}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{(-1)^2 - (-1) + 1} = \frac{1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$

2. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$

### (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}}$ を求めよ。

1. 解き方の手順

* 分子と分母をそれぞれ有理化します。

* 分子: $\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1} - \sqrt{x})(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{(x+1) - x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}$

* 分母: $\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1} = \frac{(\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1})(\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1})}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}} = \frac{(x+2) - (x-1)}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}} = \frac{3}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}}$

* $\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{\sqrt{x+2} - \sqrt{x-1}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}}{\frac{3}{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}}} = \frac{\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1}}{3(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}$

* 分子と分母を $\sqrt{x}$ で割ります。

* $\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}}{3(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)}$

* $x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となるので、$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+\frac{2}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}}{3(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1)} = \frac{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}}{3(\sqrt{1+0} + 1)} = \frac{1+1}{3(1+1)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$