関数 $f(x) = x^2 \sin x$ の第 $n$ 階導関数を求める問題です。ただし、$\sin x$ の第 $n$ 階導関数が $\sin(x + \frac{n\pi}{2})$ であることを利用してよい。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 \sin x$ の第 $n$ 階導関数を求める問題です。ただし、$\sin x$ の第 $n$ 階導関数が $\sin(x + \frac{n\pi}{2})$ であることを利用してよい。

2. 解き方の手順

$x^2 \sin x$ の第 $n$ 階導関数を求めるために、ライプニッツの公式を用います。ライプニッツの公式は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の $n$ 階導関数を求める公式で、以下のようになります。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$

ここで、$u(x) = x^2$ と $v(x) = \sin x$ とします。

$u(x)$ の導関数は以下のようになります。

$u(x) = x^2$

$u'(x) = 2x$

$u''(x) = 2$

$u^{(k)}(x) = 0$ (for $k \geq 3$)

$v(x)$ の導関数は問題文に与えられており、$v^{(n)}(x) = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$ です。

ライプニッツの公式にこれらの導関数を代入すると、

$(x^2 \sin x)^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1} (2x) \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \binom{n}{2} (2) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

$= x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$

3. 最終的な答え

$x^2 \sin x$ の第 $n$ 階導関数は、

$x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$