$\int \log_a x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \log_a x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

対数の底の変換公式を使って、$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$と変形します。ここで、$\ln$は自然対数です。

すると、

$\int \log_a x dx = \int \frac{\ln x}{\ln a} dx = \frac{1}{\ln a} \int \ln x dx$

となります。

$\int \ln x dx$を計算するために、部分積分を用います。

$u = \ln x$, $dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \ln x dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - \int 1 dx = x \ln x - x + C$

となります（ここで$C$は積分定数）。

したがって、

$\int \log_a x dx = \frac{1}{\ln a} (x \ln x - x) + C$

$= \frac{x}{\ln a} (\ln x - 1) + C$

$= \frac{x}{\ln a} (\ln x - \ln e) + C$

$= \frac{x}{\ln a} \ln(\frac{x}{e}) + C$

$= x \log_a(\frac{x}{e}) + C$

3. 最終的な答え

$x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C = x \log_a(\frac{x}{e}) + C$

または

$\frac{x\ln x}{\ln a} - \frac{x}{\ln a} + C$