与えられた2つの関数のグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \arctan(2x) + \pi$ (2) $y = \arcsin(x-1) + \frac{\pi}{2}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数のグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \arctan(2x) + \pi$

(2) $y = \arcsin(x-1) + \frac{\pi}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \arctan(2x) + \pi$ のグラフ

* まず、$y = \arctan(x)$ のグラフを考えます。$\arctan(x)$ は $x$ が $-\infty$ に近づくと $-\frac{\pi}{2}$ に近づき、$x$ が $\infty$ に近づくと $\frac{\pi}{2}$ に近づく関数です。また、$(0, 0)$ を通ります。

* 次に、$y = \arctan(2x)$ のグラフを考えます。これは、$y = \arctan(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $\frac{1}{2}$ 倍に縮小したものです。よって、$x$ が $-\infty$ に近づくと $-\frac{\pi}{2}$ に近づき、$x$ が $\infty$ に近づくと $\frac{\pi}{2}$ に近づきます。また、$(0, 0)$ を通ります。

* 最後に、$y = \arctan(2x) + \pi$ のグラフを考えます。これは、$y = \arctan(2x)$ のグラフを $y$ 軸方向に $\pi$ だけ平行移動したものです。よって、$x$ が $-\infty$ に近づくと $-\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}$ に近づき、$x$ が $\infty$ に近づくと $\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$ に近づきます。また、$(0, \pi)$ を通ります。

(2) $y = \arcsin(x-1) + \frac{\pi}{2}$ のグラフ

* まず、$y = \arcsin(x)$ のグラフを考えます。$\arcsin(x)$ は定義域が $-1 \le x \le 1$ で、値域が $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ の関数です。$(-1, -\frac{\pi}{2})$, $(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$ を通ります。

* 次に、$y = \arcsin(x-1)$ のグラフを考えます。これは、$y = \arcsin(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $1$ だけ平行移動したものです。定義域は $-1 \le x-1 \le 1$ より $0 \le x \le 2$ で、値域は $-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$ です。$(0, -\frac{\pi}{2})$, $(1, 0)$, $(2, \frac{\pi}{2})$ を通ります。

* 最後に、$y = \arcsin(x-1) + \frac{\pi}{2}$ のグラフを考えます。これは、$y = \arcsin(x-1)$ のグラフを $y$ 軸方向に $\frac{\pi}{2}$ だけ平行移動したものです。定義域は $0 \le x \le 2$ で、値域は $-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$ より $0 \le y \le \pi$ です。$(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$, $(2, \pi)$ を通ります。

3. 最終的な答え

(1) $y = \arctan(2x) + \pi$ のグラフは、$x$ が $-\infty$ に近づくと $\frac{\pi}{2}$ に近づき、$x$ が $\infty$ に近づくと $\frac{3\pi}{2}$ に近づく関数です。$(0, \pi)$ を通ります。

(2) $y = \arcsin(x-1) + \frac{\pi}{2}$ のグラフは、定義域が $0 \le x \le 2$ で、値域が $0 \le y \le \pi$ の関数です。$(0, 0)$, $(1, \frac{\pi}{2})$, $(2, \pi)$ を通ります。