## 黒板に書かれた数学の問題の解答

## 黒板に書かれた数学の問題の解答

以下に、黒板に書かれている数学の問題を順番に解きます。

### 問1

(1) $\arcsin(-\frac{1}{2})$

(2) $\arctan 1$

(3) $\sin(\arccos \frac{1}{5})$

### 解き方の手順

(1) $\arcsin(-\frac{1}{2})$ は、$\sin \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める問題です。範囲 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ で考えると、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ となります。

(2) $\arctan 1$ は、$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ を求める問題です。範囲 $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ で考えると、$\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

(3) $\sin(\arccos \frac{1}{5})$ について、$\arccos \frac{1}{5} = \theta$ とおくと、$\cos \theta = \frac{1}{5}$ です。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$ となります。

$\theta = \arccos \frac{1}{5}$ なので、$0 \leq \theta \leq \pi$ です。したがって、$\sin \theta \geq 0$ となるので、$\sin \theta = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2\sqrt{6}}{5}$ となります。

### 最終的な答え

(1) $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$

(2) $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$

(3) $\sin(\arccos \frac{1}{5}) = \frac{2\sqrt{6}}{5}$

### 問2

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n})$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{n!}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}$

### 解き方の手順

(1) $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$ を有理化します。

$\sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{n+1 - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、分母は $\infty$ に発散するので、$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = 0$ となります。

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{n!}$ について、$\frac{a_{n+1}}{a_n}$ を計算します。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{7^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{7^n} = \frac{7}{n+1}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{7}{n+1} \to 0 < 1$ となるので、$\lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{n!} = 0$ となります。

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2}$ について、$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x$ を用います。

$1 - \cos(2x) = 1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x$

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 x}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} (\frac{\sin x}{x})^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$

### 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1} - \sqrt{n}) = 0$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{7^n}{n!} = 0$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(2x)}{x^2} = 2$

### 問3

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$

### 解き方の手順

(1) $\frac{1}{4n^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{A}{2n - 1} + \frac{B}{2n + 1}$

$1 = A(2n + 1) + B(2n - 1)$ より、$n = \frac{1}{2}$ のとき、$1 = 2A$ よって、$A = \frac{1}{2}$

$n = -\frac{1}{2}$ のとき、$1 = -2B$ よって、$B = -\frac{1}{2}$

したがって、$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots) = \frac{1}{2}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n$ は、初項 $\frac{1}{2}$、公比 $\frac{1}{2}$ の等比級数です。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

### 最終的な答え

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{2})^n = 1$

### 問4

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$

### 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x \cos(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} \cdot \frac{2}{\cos(2x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \cos(2x) = 1$ であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2$

### 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} = 2$

### 問5

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1}$

### 解き方の手順

$x - 1 = t$ とおくと、$x = t + 1$ であり、$x \to 1$ のとき、$t \to 0$ となります。

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1} = \lim_{t \to 0} \frac{\log (t + 1)}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\log (t + 1)}{t} = 1$ (これは $\log(1 + x)$ の $x=0$ における微分係数です。$\log(1+x)$ の微分は $1/(1+x)$ であり、$x=0$ で $1$。)

### 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x - 1} = 1$

### 問6

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x+1}$

### 解き方の手順

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x+1} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x (1 + \frac{1}{x})$

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$ であり、$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x}) = 1$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x+1} = e \cdot 1 = e$

### 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x+1} = e$

### 問7

$\lim_{x \to 0} \frac{x(x+1)}{|x|}$

### 解き方の手順

$x \to 0$ のとき、場合分けが必要です。

$x > 0$ のとき、$|x| = x$ なので、$\lim_{x \to 0^+} \frac{x(x+1)}{x} = \lim_{x \to 0^+} (x+1) = 1$

$x < 0$ のとき、$|x| = -x$ なので、$\lim_{x \to 0^-} \frac{x(x+1)}{-x} = \lim_{x \to 0^-} -(x+1) = -1$

右極限と左極限が異なるので、$\lim_{x \to 0} \frac{x(x+1)}{|x|}$ は存在しません。

### 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{x(x+1)}{|x|}$ は存在しない。