$\int (\log x)^2 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int (\log x)^2 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて計算します。

まず、$u = (\log x)^2$ , $dv = dx$ とおくと、

$du = 2 (\log x) \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{2 \log x}{x} dx$ , $v = x$ となります。

部分積分の公式

$\int u dv = uv - \int v du$

を用いると、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx = x (\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

となります。

次に、$\int \log x dx$ を計算します。

$u = \log x$ , $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} dx$ , $v = x$ となります。

部分積分の公式を用いると、

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C$

となります。

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x (\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

となります。

3. 最終的な答え

$x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$