与えられた画像は基礎微積分学I, IIの定期テストの問題です。問1から問6まで、様々な微積分に関する問題が含まれています。 具体的には、 * 問1: 逆三角関数の値を求める問題 * 問2: 極限値を求める問題 * 問3: 関数の微分を求める問題 * 問4: 導関数の定義に従って関数を微分する問題 * 問5: 関数のグラフの概形を描く問題 * 問6: 関数の積の微分可能性を証明する問題

## 回答

1. 問題の内容

与えられた画像は基礎微積分学I, IIの定期テストの問題です。問1から問6まで、様々な微積分に関する問題が含まれています。

具体的には、

* 問1: 逆三角関数の値を求める問題

* 問2: 極限値を求める問題

* 問3: 関数の微分を求める問題

* 問4: 導関数の定義に従って関数を微分する問題

* 問5: 関数のグラフの概形を描く問題

* 問6: 関数の積の微分可能性を証明する問題

2. 解き方の手順

画像全体の問題をすべて解くのは難しいので、いくつか例を挙げて解き方を説明します。

**問1 (2): arctan(-1)**

arctan はtanの逆関数なので、$arctan(x) = \theta$ は $tan(\theta) = x$ を意味します。

$tan(\theta) = -1$ となる$\theta$を考えます。

$tan(-\frac{\pi}{4}) = -1$なので、$arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$となります。

**問2 (1): $\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2+2)(n^2-n+4)}{6n^4-n^3-n^2+1}$**

分子を展開すると、$(n^2+2)(n^2-n+4) = n^4 - n^3 + 4n^2 + 2n^2 - 2n + 8 = n^4 - n^3 + 6n^2 - 2n + 8$ となります。

分子分母を$n^4$で割ると、

$\frac{(n^2+2)(n^2-n+4)}{6n^4-n^3-n^2+1} = \frac{1 - \frac{1}{n} + \frac{6}{n^2} - \frac{2}{n^3} + \frac{8}{n^4}}{6 - \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} + \frac{1}{n^4}}$

$n \to \infty$のとき、$\frac{1}{n}, \frac{1}{n^2}, \frac{1}{n^3}, \frac{1}{n^4}$は0に近づくので、

$\lim_{n\to\infty} \frac{(n^2+2)(n^2-n+4)}{6n^4-n^3-n^2+1} = \frac{1}{6}$

**問3 (1): $\sqrt{x} \cos{x}$**

積の微分公式 $(fg)' = f'g + fg'$を使用します。

$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$ と $g(x) = \cos{x}$ とすると、

$f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$g'(x) = -\sin{x}$

したがって、 $(\sqrt{x} \cos{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cos{x} + \sqrt{x}(-\sin{x}) = \frac{\cos{x}}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\sin{x}$

3. 最終的な答え

上記の例題の答えは以下の通りです。

* 問1 (2): $-\frac{\pi}{4}$

* 問2 (1): $\frac{1}{6}$

* 問3 (1): $\frac{\cos{x}}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\sin{x}$