与えられた積分 $\int x^2 e^x dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x^2 e^x dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回用いることで解くことができます。部分積分の公式は、

$$\int u dv = uv - \int v du$$

です。

(1) 1回目の部分積分：

$u = x^2$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = 2x dx$, $v = e^x$ となります。

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2\int x e^x dx$$

(2) 2回目の部分積分：

$\int x e^x dx$ を計算します。

$u = x$, $dv = e^x dx$ とおくと、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C_1$$

(3) 結果の代入：

$\int x e^x dx$ の結果を1回目の部分積分の結果に代入します。

$$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C$$

$$= x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$$

$$= e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$

3. 最終的な答え

$$\int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$$