$\sqrt{x} \cos{x}$ の不定積分を求めよという問題です。

承知いたしました。画像の問題を解いて回答します。

1. 問題の内容

$\sqrt{x} \cos{x}$ の不定積分を求めよという問題です。

2. 解き方の手順

この不定積分は、部分積分を用いて解くことができます。

部分積分の公式は次の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここで、$u = \sqrt{x}$ と $dv = \cos{x} dx$ と置きます。すると、

$du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$

$v = \int \cos{x} dx = \sin{x}$

したがって、部分積分の公式に当てはめると、

$\int \sqrt{x} \cos{x} dx = \sqrt{x}\sin{x} - \int \sin{x} \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$

$= \sqrt{x}\sin{x} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}} dx$

$\int \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}} dx$は初等関数で表すことができない積分（フレネル積分と呼ばれるものに関連する）であるため、これ以上積分を簡単化することはできません。

したがって、元の積分は次のように表されます。

$\int \sqrt{x} \cos{x} dx = \sqrt{x}\sin{x} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}} dx + C$

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{x} \cos{x} dx = \sqrt{x}\sin{x} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}} dx + C$

ここで、$C$は積分定数です。

$\int \frac{\sin{x}}{\sqrt{x}} dx$ はフレネル積分に関連する特殊な積分であり、初等関数で表現することはできません。