連続関数 $f(t)$ に対して、$I = \int_0^\pi x f(\sin x) \, dx$ と定義する。 (1) $I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx$ を示す。 (2) $f(t) = \frac{t}{3+t^2}$ のとき、$I$ を求める。

1. 問題の内容

連続関数 $f(t)$ に対して、$I = \int_0^\pi x f(\sin x) \, dx$ と定義する。

(1) $I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx$ を示す。

(2) $f(t) = \frac{t}{3+t^2}$ のとき、$I$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $I = \int_0^\pi x f(\sin x) \, dx$ に対して、$x = \pi - u$ と変数変換する。$dx = -du$ であり、積分範囲は $x: 0 \to \pi$ に対して $u: \pi \to 0$ となる。

したがって、

$I = \int_\pi^0 (\pi - u) f(\sin (\pi - u)) (-du) = \int_0^\pi (\pi - u) f(\sin u) \, du$

ここで、$\sin(\pi - u) = \sin u$ を用いた。

よって、

$I = \int_0^\pi \pi f(\sin u) \, du - \int_0^\pi u f(\sin u) \, du = \pi \int_0^\pi f(\sin u) \, du - I$

$2I = \pi \int_0^\pi f(\sin u) \, du$

$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx$

ここで、積分変数を $u$ から $x$ に変更した。

(2) $f(t) = \frac{t}{3+t^2}$ を (1) の結果に代入すると、

$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{3 + \sin^2 x} \, dx$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を用いて、

$I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{3 + 1 - \cos^2 x} \, dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi \frac{\sin x}{4 - \cos^2 x} \, dx$

ここで、$u = \cos x$ と変数変換する。$du = -\sin x \, dx$ であり、積分範囲は $x: 0 \to \pi$ に対して $u: 1 \to -1$ となる。

$I = \frac{\pi}{2} \int_1^{-1} \frac{-du}{4 - u^2} = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \frac{du}{4 - u^2}$

$\frac{1}{4-u^2} = \frac{1}{(2-u)(2+u)} = \frac{A}{2-u} + \frac{B}{2+u} = \frac{A(2+u) + B(2-u)}{(2-u)(2+u)}$

$1 = A(2+u) + B(2-u)$

$u = -2$ のとき、$1 = B(4) \implies B = \frac{1}{4}$

$u = 2$ のとき、$1 = A(4) \implies A = \frac{1}{4}$

よって、

$I = \frac{\pi}{2} \int_{-1}^1 \frac{1/4}{2-u} + \frac{1/4}{2+u} \, du = \frac{\pi}{8} \int_{-1}^1 \frac{1}{2-u} + \frac{1}{2+u} \, du$

$I = \frac{\pi}{8} [-\ln|2-u| + \ln|2+u|]_{-1}^1 = \frac{\pi}{8} [\ln|\frac{2+u}{2-u}|]_{-1}^1$

$I = \frac{\pi}{8} (\ln|\frac{3}{1}| - \ln|\frac{1}{3}|) = \frac{\pi}{8} (\ln 3 - \ln \frac{1}{3}) = \frac{\pi}{8} (\ln 3 - (-\ln 3)) = \frac{\pi}{8} (2\ln 3) = \frac{\pi}{4} \ln 3$

3. 最終的な答え

(1) $I = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \, dx$

(2) $I = \frac{\pi}{4} \ln 3$