関数 $f(x) = (x^2+1)^x$ が与えられています。$f'(2)$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x^2+1)^x$ が与えられています。$f'(2)$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の両辺の自然対数をとります。

$\ln f(x) = \ln((x^2+1)^x) = x \ln(x^2+1)$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分により、$\frac{f'(x)}{f(x)}$ となります。右辺は積の微分法を使います。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x^2+1) + x \cdot \frac{2x}{x^2+1} = \ln(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1}$

したがって、

$f'(x) = f(x) \left( \ln(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1} \right) = (x^2+1)^x \left( \ln(x^2+1) + \frac{2x^2}{x^2+1} \right)$

$x = 2$ を代入すると、

$f'(2) = (2^2+1)^2 \left( \ln(2^2+1) + \frac{2(2^2)}{2^2+1} \right) = 5^2 \left( \ln 5 + \frac{8}{5} \right) = 25 \left( \ln 5 + \frac{8}{5} \right) = 25 \ln 5 + 40$

3. 最終的な答え

$f'(2) = 25 \ln 5 + 40$