与えられた関数を微分する問題です。関数は以下の通りです。 (1) $y = (2x - 3)(3x + 4)$ (2) $y = (2x - 3)(x^2 + 3x + 4)$ (3) $y = x \log x$ (4) $y = x^2 e^x$ (5) $y = \sin x \cos x$ (6) $y = x \sqrt{x+1}$

はい、承知いたしました。画像に写っている6つの関数について、それぞれ微分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。関数は以下の通りです。

(1) $y = (2x - 3)(3x + 4)$

(2) $y = (2x - 3)(x^2 + 3x + 4)$

(3) $y = x \log x$

(4) $y = x^2 e^x$

(5) $y = \sin x \cos x$

(6) $y = x \sqrt{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = (2x - 3)(3x + 4)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 2x - 3$ と $v = 3x + 4$ とすると、$u' = 2$、$v' = 3$ です。

したがって、

$y' = 2(3x + 4) + (2x - 3)3 = 6x + 8 + 6x - 9 = 12x - 1$

(2) $y = (2x - 3)(x^2 + 3x + 4)$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = 2x - 3$ と $v = x^2 + 3x + 4$ とすると、$u' = 2$、$v' = 2x + 3$ です。

したがって、

$y' = 2(x^2 + 3x + 4) + (2x - 3)(2x + 3) = 2x^2 + 6x + 8 + 4x^2 - 9 = 6x^2 + 6x - 1$

(3) $y = x \log x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$ と $v = \log x$ とすると、$u' = 1$、$v' = \frac{1}{x}$ です。

したがって、

$y' = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$

(4) $y = x^2 e^x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$ と $v = e^x$ とすると、$u' = 2x$、$v' = e^x$ です。

したがって、

$y' = 2x e^x + x^2 e^x = (x^2 + 2x)e^x$

(5) $y = \sin x \cos x$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = \sin x$ と $v = \cos x$ とすると、$u' = \cos x$、$v' = -\sin x$ です。

したがって、

$y' = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$

(6) $y = x \sqrt{x+1}$

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x$ と $v = \sqrt{x+1} = (x+1)^{1/2}$ とすると、$u' = 1$、$v' = \frac{1}{2}(x+1)^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}$ です。

したがって、

$y' = 1 \cdot \sqrt{x+1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+1}} = \sqrt{x+1} + \frac{x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{2(x+1) + x}{2\sqrt{x+1}} = \frac{3x + 2}{2\sqrt{x+1}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 12x - 1$

(2) $y' = 6x^2 + 6x - 1$

(3) $y' = \log x + 1$

(4) $y' = (x^2 + 2x)e^x$

(5) $y' = \cos 2x$

(6) $y' = \frac{3x + 2}{2\sqrt{x+1}}$