$c \in (-\infty, \infty)$ とし、$f(x)$ と $g(x)$ は $(-\infty, c) \cup (c, \infty)$ 上で定義された実数値関数とする。 (1) 実数 $A$ に対して、$\lim_{x \to c} f(x) = A$ の $\epsilon-\delta$ 論法による定義を記述する。 (2) 実数 $A, B$ に対して、$\lim_{x \to c} f(x) = A$, $\lim_{x \to c} g(x) = B$ であるとし、さらに、$f(x) < g(x) + |x-c|$ が $(-\infty, c) \cup (c, \infty)$ 上で成立するとき、$A \le B$ であることを $\epsilon-\delta$ 論法を用いて証明する。

1. 問題の内容

$c \in (-\infty, \infty)$ とし、$f(x)$ と $g(x)$ は $(-\infty, c) \cup (c, \infty)$ 上で定義された実数値関数とする。

(1) 実数 $A$ に対して、$\lim_{x \to c} f(x) = A$ の $\epsilon-\delta$ 論法による定義を記述する。

(2) 実数 $A, B$ に対して、$\lim_{x \to c} f(x) = A$, $\lim_{x \to c} g(x) = B$ であるとし、さらに、$f(x) < g(x) + |x-c|$ が $(-\infty, c) \cup (c, \infty)$ 上で成立するとき、$A \le B$ であることを $\epsilon-\delta$ 論法を用いて証明する。

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to c} f(x) = A$ の $\epsilon-\delta$ 論法による定義は以下の通りである。

任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$0 < |x-c| < \delta$ を満たすすべての $x$ に対して、$|f(x) - A| < \epsilon$ が成立する。

(2) $A \le B$ であることを $\epsilon-\delta$ 論法を用いて証明する。

背理法を用いる。$A > B$ であると仮定する。

$\epsilon = \frac{A - B}{2} > 0$ とおく。

$\lim_{x \to c} f(x) = A$ であるから、$\epsilon = \frac{A-B}{2}$ に対して、ある $\delta_1 > 0$ が存在し、$0 < |x-c| < \delta_1$ ならば、$|f(x) - A| < \epsilon$ が成り立つ。

すなわち、$A - \epsilon < f(x) < A + \epsilon$ である。

$A - \frac{A-B}{2} < f(x) < A + \frac{A-B}{2}$ より、

$\frac{A+B}{2} < f(x) < \frac{3A-B}{2}$ が成り立つ。

$\lim_{x \to c} g(x) = B$ であるから、$\epsilon = \frac{A-B}{2}$ に対して、ある $\delta_2 > 0$ が存在し、$0 < |x-c| < \delta_2$ ならば、$|g(x) - B| < \epsilon$ が成り立つ。

すなわち、$B - \epsilon < g(x) < B + \epsilon$ である。

$B - \frac{A-B}{2} < g(x) < B + \frac{A-B}{2}$ より、

$\frac{3B-A}{2} < g(x) < \frac{A+B}{2}$ が成り立つ。

$\delta = \min\{\delta_1, \delta_2, \frac{A-B}{2}\}$ とおく。$\delta > 0$ である。

$0 < |x-c| < \delta$ を満たす $x$ に対して、$f(x) < g(x) + |x-c|$ が成り立つので、

$\frac{A+B}{2} < f(x) < g(x) + |x-c| < \frac{A+B}{2} + |x-c|$

$|x-c| < \delta \le \frac{A-B}{2}$ であるから、

$\frac{A+B}{2} < f(x) < g(x) + |x-c| < \frac{A+B}{2} + \frac{A-B}{2} = A$

さらに、$g(x) < \frac{A+B}{2}$ であるから、

$f(x) < g(x) + |x-c| < \frac{A+B}{2} + |x-c|$ が得られる。

一方、$f(x) > \frac{A+B}{2}$ であり、$|x-c| < \frac{A-B}{2}$ であるから、

$f(x) > \frac{A+B}{2}$

$g(x) < \frac{A+B}{2}$

$f(x) < g(x) + |x-c| < \frac{A+B}{2} + |x-c|$

しかし、$f(x) > \frac{A+B}{2}$ であり、$g(x) < \frac{A+B}{2}$ であるから、$f(x) > g(x)$ である。

これは、$f(x) < g(x) + |x-c|$ に矛盾する。

したがって、$A \le B$ である。

3. 最終的な答え

$A \le B$