次の3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin 3x$ (2) $y = \sin x^3$ (3) $y = \sin^3 x$

1. 問題の内容

次の3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin 3x$

(2) $y = \sin x^3$

(3) $y = \sin^3 x$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin 3x$ の微分

合成関数の微分を使います。$u = 3x$ とおくと、$y = \sin u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = (\cos u) \cdot 3 = 3 \cos 3x$

(2) $y = \sin x^3$ の微分

これも合成関数の微分を使います。$u = x^3$ とおくと、$y = \sin u$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = (\cos u) \cdot 3x^2 = 3x^2 \cos x^3$

(3) $y = \sin^3 x$ の微分

これも合成関数の微分を使います。$u = \sin x$ とおくと、$y = u^3$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = 3u^2$

$\frac{du}{dx} = \cos x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = (3u^2) \cdot \cos x = 3\sin^2 x \cos x$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 3 \cos 3x$

(2) $\frac{dy}{dx} = 3x^2 \cos x^3$

(3) $\frac{dy}{dx} = 3\sin^2 x \cos x$